理论的预言能力
34．数的奇绩——波德定则（小行星的发现及其意义）
天文学家很早就发现，火星与木星间的距离似乎太大了些。开普勒就提出过“在火星和木星之间还应当有一颗行星存在”。他的依据，就是信奉“宇宙的和谐”。1772 年，提丢斯-波得定则又尖锐地提出了此问题。按距太阳的远近，由近到远计算，对于第 n 个行星（但对最近的水星，n=-∞而不取 1），其对太阳的距离 a_n=0．4＋0．3×2_n-2（天文单位），按此式计算得到的行星距离值列入下表：

行星	an 观测值	an 计算值	n
水星	0.387	0.4	-∞
金星	0.728	0.7	2
地球	1.000	1.0	3
火星	1.52	1.6	4
（谷神星）	（ 2.7 ）	2.8	5
木星	5.2	5.2	6
土星	9.5	10.0	7
（天王星）	19.2	19.6	8
（海王星）	30.1	38.8	9
（冥王星）	39.4	77.2	10

括号内表示当时尚未发现的小行星和行星。1781 年 3 月，赫歇耳在英国意外地发现了太阳系的第七颗大行星——天王星。观测结果恰好与提丢斯定则惊人地吻合，它成为提丢斯-波得定则的有力的观测支持。于是人们更加热心去寻找对应于 n=5 的“失踪”了的行星。很多天文学家协商共同搜索黄道区域的星空。然而，捷足先登者却是一个“局外人”——意大利天文学家皮亚齐。1801 年元旦之夜，他在无意中发现了第一颗小行星谷神星，从此揭开了小行星研究的序幕。小行星的数目十分众多，每年发现的小行星数近二、三百颗。到 1985 年 8 月止，正式编号命名的就达 3301 颗。有人估计暗到 19 星等的小行星数约为 44000 颗，而 21．2 星等的小行星则近 50 万颗。
我国已故天文学家张钰哲 1928 年发现 1125 号小行星，命名为“中华” 为我国第一个观测到小行星的天文学家。以后他和他的观测小组前后发现了
800    多颗小行星。研究小行星无论在天文上或在人类未来的征服宇宙的活动中将起重要作用。天文上首先是为准确确定“天文单位”。因为在确定太阳和行星间的距离时，通常大恒星在望远镜中有一定大小，故给距离的确定带来误差，而小行星即使是在望远镜中也仅仅是一个光点。所以能更准确地定出它的距离。而一旦在太阳系中有任一行星的距离被确定，则按开普勒定律便能通过可以准确测量的周期而计算出行星的距离。一旦距离的精度提高，则行星的质量精度亦可相应提高。小行星对于天体测量和研究天体的演化也有很大作用。更有意思的是，在未来的星际航行中，人类为了到达更远的行星，我们可以趁某颗小行星接近地球的机会先到小行星，然后利用它做天然的“宇航飞机”当其接近目标行星时再开启发动机。这将不仅节约能源而且有更高的速度又安全可靠。
至于波得定则，由于海王星和冥王星的发现而其观测轨道与理论结果出入甚大，因此人们对定则的正确性发生了怀疑。但后来天文学家发现，行星的卫星的轨道也遵从波得定则，难道一种“偶然”的数学游戏竟有这样的普适性吗？最近我国天文学家紫金山天文台的李晓卿研究员和北京天文台台长李启斌研究员通过对非线性扰动方程的求解，得出了波得定则的准确关系。这也许会导致从理论上研究太阳系的形成和演化的突破性进展。
35．牛顿引力理论的成就——海王星的发现
前面我们讨论了牛顿万有引力公式的导出。它本质上是把开普勒关于行星运动的三定律用几何和牛顿本人创立的力学语言加以“翻译”。但天文学只是在采取这种普遍形式时，才表明了在描述行星轨道方面的真正进步。牛顿是由开普勒的椭圆轨道，推出引力的平方反比律。可以证明逆定律也成立。即可以证明：根据牛顿定律，一个物体围绕吸引它的中心静止物体的运动其轨道是开普勒的椭圆（当然，这只是对闭合的周期性轨道才是正确的。有些彗星的轨道是双曲线，不是闭合的）。不过要出现后面的情况必须有两个条件：一是这两个物体都是在运动着的；二，还有别的物体存在。这样，我们就面临到了三体或多体问题。研究表明，用三体或多体问题处理行星运动，能更精确地反映行星系的实际情况。因为，不仅是行星受到太阳吸引，月亮受到相应的行星的吸引，而且所有物体，太阳、行星、月亮，而且还有彗星，都是相互吸引的。因此开普勒的椭圆只是一种近似。之所以能够这样近似，是因为太阳有很大的质量，因而，它的作用远远超过了行星系中所有其他物体的相互作用。但时间一长，这些微小作用的累积足以形成人们可以觉察出的误差量，使行星轨道偏离开普勒椭圆。天文学家把这种现象称为“摄动”。
随着观测精度的提高，发现了大量行星轨道对椭圆轨道的偏离，而“摄动”理论的出现恰好给大量的新观测结果以很好的解释。特别在天王星发现后，有人利用摄动理论来计算它的位置。但结果总与观测值有差别。一些人怀疑摄动理论有问题，但也有人认为天王星外还有一颗大行星。大多数天文学家支持后一种假说。法国天文学家勒威耶研究了天王星运动的不规则性，并试图根据其轨迹去寻求产生它们的力的方向和大小，从而确定它们的原因。
到   1820 年，可用的正规子午观测已长达 40 年之久。而在 1690～1771年期间一些天文学家曾对天王星观测了 19 次，他们把它看作是一颗 6 等恒星。在编制天王星星表时出现了一个难题：如果旧观测值和新观测值都采用， 那么在作摄动计算时，如果要求旧观测值复现，则新观测值就不能严格地再现；如果丢掉旧观测值只使用新观测值，那么编成的表对新观测值符合得很好，然而确不能充分符合旧观测值。必须在两者之间进行选择。一些天文学家相信新的观测结果，认为必须阐明，把这两个系统调和起来的困难是否真与观测的不精确性有关，或者，是否是由于施加在该行星上的某种奇怪且尚未曾察觉的力产生的。这就是说，除了太阳、木星和土星的作用力之外，天王星还受到其他的影响？要是这样的话，那么通过对该行星摄动的仔细研究，是否可以成功地确定这些未预见的不规则性的原因？人们能否达到这一步，就是把那个奇怪的天体——一切困难的来源——所在的天区指示出来？使实测天文学家对那个天区进行搜索时能够发现它。
勒威耶根据天王星对自身轨道的偏离以及当时已知的不少资料中推导出

对未知行星的以下数据：
半长径  36.154
公转周期 217．387 年（恒星年）
偏心率 0.10761
近日点 284°45＇
1847 年 1 月 1 日平黄经	318°47＇
质量 1／9300
由此得出

1847 年 1 月 1 日真日心黄经 326°32＇
离太阳的距离 33.06
1847 年 9 月 23 日，勒威耶写信给伽勒，迫切要求他搜索这颗行星。当天晚上他就发现，在非常靠近勒威耶预报的位置处，有一颗布勒克尔星图上没有的 8 等星。当夜伽勒和恩克进行了四次测量。第二天，这两人又进行了十五次测量，使这颗天体的运动得到了证实。
这是所有行星发现中最辉煌的一次。因为纯理论的研究使勒威耶得以预言一颗行星的存在并预报它的位置。当然，发现之所以如此迅速，是因为布勒克尔编制了卓越的星图；而行星圆面只有当人们知道它存在时方能被认出。
这一发现也是牛顿引力理论辉煌成就的标志。但同样的问题对于水星却遇到了牛顿引力理论无法克服的困难，导致了爱因斯坦广义相对论的创立。
36．牛顿引力理论的困难——水星近日点的进动
牛顿理论经受住了无数次新的观测的考验而没有一次失败过。特别是在天王星的轨道观测中，理论和观测之间的某些不一致导致了对海王星的预言和发现，更使牛顿理论成为理论的楷模。然而宇宙规律不容忍有例外。但有一个情况，就是上面我们提到的那个例外，水星近日点的进动，使牛顿的理论遭到了失败。
我们已知道，每一个行星的运动轨道都可近似地看成是开普勒的椭圆，这个椭圆运动由于受到其他行星的摄动，使得轨道平面的取向，椭圆主轴的方位，它的偏心率，总之，所有“轨道参数”，都在逐渐发生变化。根据牛顿引力定律可计算出这些变化数值，在发现了海王星和冥王星后除水星外，都与观测数据相符合。对于水星，其近日点的进动（见图 19），根据牛顿定律计算出来的数值，与实际观测值之间有着一个十分微小但却是确凿无疑的偏差。这个偏差量为每一百年 43 角秒。正是上面我们介绍的从分析摄动情况 而预言了海王星存在的天文学家——勒威耶第一个计算了这个偏差，现在人们已完全肯定了这个偏差。既然用已知的其他行星来解释这个进动是不成的。于是学者们就假设还有别的物质存在，用这些物质的吸引来解释水星近日点的上述附加进动。比如曾有人试图把黄道光（它被认为是从太阳附近的稀薄星云物质里发出来的）与水星的这种反常运动联系起来。但这个假说，和其他许多假说一样，都有一个共同的缺点，即它们仅是为了解释水星近日点这一反常运动而提出，此外再不能为任何其他观测所证实。
在最靠近太阳的行星——水星上所发生的这个唯一牢牢确定了的与牛顿定律的偏差，说明在这个定律里，归根到底可能还是存在有某种原则上的缺陷。如果假设牛顿引力定律的偏差，是随引力的增大而增加，那么这些偏差必定在太阳附近有最大值。总之，提出的各种修改牛顿引力定律的方案都带有极大的任意性，它们不能用其他事实来加以检验。它们的正确性并没有因为解释了水星近日点的进动而得到承认。如果牛顿的理论确实需要加以改进，那么这种改进所根据的原则，不是随便引入另外的常数，而是应使改进后的理论或者在普遍性上或在逻辑结构上要优越于以前的学说。爱因斯坦的广义相对论成功地解决了这个问题。广义相对论的建立为天文学的发展揭开了全新的一页。特别是 60 年代以来，天体物理学中一个接一个的重大发现，使相对论天体物理和宇宙学成为当前天体物理最活跃的分支。